Codex 的核心执行单元是 Turn——从用户输入到最终回复的完整交互周期。每个 Turn 可形式化为一个有限状态机，其状态转移序列可表示为：
$$\text{Pre} \to \text{Compacting} \to \text{ContextBuilding} \to \text{Sampling} \leftrightarrow \text{ToolExecution} \to \text{Complete}$$
其中：
状态转移由转移函数 $\delta: S \times E \to S$ 控制，其中 $S$ 为状态集合，$E$ 为事件集合。关键的事件类型包括模型响应、工具执行完成、用户中断、上下文窗口超限等。
循环不变量保证整个 Turn 执行过程中的状态一致性：
$$\forall n \in \mathbb{N}: \text{Invariant}(state_n) \implies \text{Invariant}(state_{n+1})$$
核心不变量包括：
单个 Turn 的执行可递归定义为：
$$\text{run\_turn}(input) = \begin{cases} \text{complete} & \text{if } \neg \text{needs\_follow\_up} \\ \text{run\_turn}(\text{compact}(\text{history} \cup tool\_result)) & \text{if } \text{needs\_follow\_up} \wedge \text{token\_limit\_reached} \\ \text{run\_turn}(\text{history} \cup tool\_result) & \text{otherwise} \end{cases}$$
这种递归结构支持任意深度的工具调用链，同时通过压缩机制确保上下文窗口不超限。
采样-工具飞轮是 Codex 实现多步推理的核心机制。每轮迭代可形式化为：
$$\mathcal{F}_t: (C_t, M_t) \xrightarrow{\text{Sampling}} (A_t, O_t) \xrightarrow{\text{Execution}} (C_{t+1}, M_{t+1})$$
其中：
整个飞轮过程可建模为迭代函数系统（Iterated Function System, IFS）：
$$C_{t+1} = f(C_t) = \begin{cases} \text{compact}(C_t \cup \{A_t, O_t\}) & \text{if } \|C_t \cup \{A_t, O_t\}\|_1 > B_{\text{context}} \\ C_t \cup \{A_t, O_t\} & \text{otherwise} \end{cases}$$
其中 $\|\cdot\|_1$ 表示 Token 计数，$B_{\text{context}}$ 为上下文窗口上限。
终止条件可形式化为谓词 $\tau: \mathcal{S} \to \{\text{true}, \text{false}\}$：
$$\tau(s) = \begin{cases} \text{true} & \text{if } A_t = \text{AssistantMessage} \wedge \neg \text{has\_pending\_input} \\ \text{true} & \text{if } t > T_{\max} \\ \text{true} & \text{if } \sum_{i=1}^{t} \text{tokens}(C_i) > B_{\text{budget}} \\ \text{false} & \text{otherwise} \end{cases}$$
其中：
最大轮数与预算约束下的有界性可通过归纳法证明：
定理：在给定最大轮数 $T_{\max}$ 和预算上限 $B_{\text{budget}}$ 的条件下，采样-工具飞轮必然在有限步骤内终止。
证明：
中断是用户意图的体现，而非系统错误。Codex 将中断形式化为高优先级外部事件插入：
$$\text{InterruptEvent} = (\text{type}, \text{timestamp}, \text{reason}) \in \mathcal{E}_{\text{external}}$$
中断的传播延迟取决于其插入点与当前执行状态的相对位置：
$$d_{\text{interrupt}} = t_{\text{propagate}} - t_{\text{insert}}$$
其中 $t_{\text{insert}}$ 为中断产生时间，$t_{\text{propagate}}$ 为中断被处理时间。
传播延迟的下界由当前操作的可中断性决定：
$$d_{\text{interrupt}} \geq \begin{cases} 0 & \text{if } \text{state} = \text{Idle} \\ \Delta t_{\text{cancellation}} & \text{if } \text{state} \in \{\text{Sampling}, \text{ToolExecution}\} \\ \Delta t_{\text{checkpoint}} & \text{if } \text{state} = \text{Compacting} \end{cases}$$
中断的一致性保证通过原子操作实现：
$$\text{abort\_all\_tasks}(\text{reason}) = \text{take\_active\_turn}(); \text{handle\_task\_abort}(); \text{emit\_event}(); \text{clear\_pending}()$$
这确保了中断处理的四个步骤要么全部执行，要么全部不执行，避免了中间状态的不一致。
进行中的工具调用处理遵循最佳effort原则：
$$\text{ToolResult}_{\text{aborted}} = \begin{cases} \text{partial\_output} & \text{if } \text{tool\_completed} \\ \text{Error}(\text{TurnAborted}) & \text{if } \text{tool\_interrupted} \\ \text{discard} & \text{if } \text{tool\_not\_started} \end{cases}$$
中断点与可恢复点的选择遵循策略：
$$\mathcal{R}_{\text{recoverable}} = \{s \in \mathcal{S} \mid \text{persistent}(s) \wedge \text{can\_rollback}(s)\}$$
其中 $\text{persistent}(s)$ 表示状态已持久化到 Rollout，$\text{can\_rollback}(s)$ 表示状态可回滚。
行动空间的设计面临接口覆盖度与安全可判定性的根本权衡。Codex 采用"通用 Shell + 策略层"架构，其行动空间可表示为：
$$\mathcal{A}_{\text{Codex}} = \mathcal{A}_{\text{shell}} \cup \mathcal{A}_{\text{patch}} \cup \mathcal{A}_{\text{search}} \cup \mathcal{A}_{\text{network}}$$
其中 $\mathcal{A}_{\text{shell}} = \{(\text{command}, \text{args}) \mid \text{command} \in \Sigma^*\}$ 是命令执行的通用接口。
对比细粒度安全工具的并集：
$$\mathcal{A}_{\text{fine\_grained}} = \bigcup_{i=1}^{n} \mathcal{A}_{\text{tool}_i}$$
其中每个 $\mathcal{A}_{\text{tool}_i}$ 是受限的专用接口，如 $\mathcal{A}_{\text{read\_file}} = \{(\text{path}) \mid \text{path} \in \mathcal{P}_{\text{allowed}}\}$。
定理：通用 Shell 接口的表达能力强于细粒度工具的并集。
证明：
然而，这种表达能力的提升带来了安全判定的复杂化：
$$\text{SafetyPred}(\mathcal{A}_{\text{shell}}) = \{p \mid \forall a \in \mathcal{A}_{\text{shell}}: p(a) \in \text{PSPACE}\}$$
相比之下，细粒度工具的安全性谓词通常在多项式时间内可判定：
$$\text{SafetyPred}(\mathcal{A}_{\text{tool}_i}) = \{p \mid \forall a \in \mathcal{A}_{\text{tool}_i}: p(a) \in \text{P}\}$$
Codex 通过策略层缓解这一矛盾，将安全性判定分解为：
$$\text{Safe}(a) = \text{ApprovalCheck}(a) \wedge \text{SandboxCheck}(a) \wedge \text{PolicyCheck}(a)$$
其中：
这种分层设计使得安全谓词的复杂度从 $\text{PSPACE}$ 降低到多项式级别。
Codex 的两种文件操作模式——补丁式编辑与全文件重写——在 Token 成本上存在显著差异。
设文件 $F$ 的原始大小为 $|F|$ Token，补丁修改的增量为 $\Delta$，则两种模式的成本函数为：
$$\text{Cost}_{\text{patch}}(F, \Delta) = \text{overhead}_{\text{patch}} + \|\Delta\|_1$$
$$\text{Cost}_{\text{rewrite}}(F, \Delta) = \text{overhead}_{\text{tool}} + |F| + \|\Delta\|_1$$
其中：
成本差为：
$$\Delta \text{Cost} = \text{Cost}_{\text{rewrite}} - \text{Cost}_{\text{patch}} = (|F| - \text{overhead}_{\text{patch}} + \text{overhead}_{\text{tool}})$$
当 $|F| \gg \text{overhead}_{\text{patch}} - \text{overhead}_{\text{tool}}$ 时，补丁式编辑显著优于重写。
检索结果截断的 Token 成本可建模为：
$$\text{Cost}_{\text{search}}(q, L) = \text{overhead}_{\text{tool}} + L \cdot \text{avg\_result\_size} + \text{metadata}$$
其中：
设完整结果集大小为 $N$，则截断的信息损失可表示为：
$$\text{InfoLoss}(L, N) = H(\text{top}-L) - H(\text{top}-N)$$
其中 $H(\cdot)$ 为熵函数，$\text{top}-k$ 表示按相关性排序的前 $k$ 个结果。
检索参数 $(L, N)$ 的选择是信息量-成本的帕累托最优问题：
$$\max_{L} \left\{ \frac{\text{InfoGain}(L)}{\text{Cost}_{\text{search}}(L)} \right\} \quad \text{s.t.} \quad L \leq N$$
Codex 的默认选择 $L=20$ 是基于经验的最优值，平衡了上下文压力与信息完整性。
当多个工具调用相互独立时，并行执行可显著降低总时延。设工具调用集合为 $\mathcal{T} = \{T_1, T_2, \ldots, T_n\}$，其中每个工具的执行时间为 $t_i$。
串行执行的总时延为：
$$T_{\text{serial}} = \sum_{i=1}^{n} t_i$$
并行执行的总时延为：
$$T_{\text{parallel}} = \max_{i \in \{1, \ldots, n\}} t_i + \delta_{\text{coord}}$$
其中 $\delta_{\text{coord}}$ 为协调开销（锁获取、结果聚合等）。
加速比定义为：
$$S = \frac{T_{\text{serial}}}{T_{\text{parallel}}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} t_i}{\max_i t_i + \delta_{\text{coord}}}$$
并行效率为：
$$E = \frac{S}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} t_i}{n \cdot (\max_i t_i + \delta_{\text{coord}})}$$
当所有工具执行时间相等（$t_i = t$）且协调开销可忽略（$\delta_{\text{coord}} \approx 0$）时：
$$S_{\text{ideal}} = n, \quad E_{\text{ideal}} = 1$$
Codex 的并行控制采用读写锁策略：
$$\text{Lock}(T_i) = \begin{cases} \text{RwLockRead} & \text{if } \text{supports\_parallel}(T_i) \\ \text{RwLockWrite} & \text{otherwise} \end{cases}$$
这确保了支持并行的工具可同时执行，而不支持并行的工具独占访问。
采样-工具飞轮的稳定性依赖于错误不发散性质。设错误传播函数为 $\epsilon: \mathcal{E} \to \mathcal{E}$，其中 $\mathcal{E}$ 为错误空间。
稳定性条件：对于任意初始错误 $\epsilon_0$，存在 $k \in \mathbb{N}$ 使得 $\epsilon_k \in \mathcal{E}_{\text{benign}}$。
Codex 通过以下机制保证稳定性：
事件系统（见第10章）提供完整的可观测性。每个操作都通过事件广播：
$$\text{Event} = (\text{type}, \text{payload}, \text{timestamp}) \in \mathcal{E}_{\text{broadcast}}$$
事件流满足以下性质：
工具结果的回填采用确定性策略，确保模型可以基于结果继续推理：
$$\text{backfill}(tool\_result) = \text{ResponseItem}::FunctionCallResult \{\text{call\_id}, \text{output}\}$$
回填策略满足：
这种设计使得采样-工具飞轮形成一个闭合反馈环：模型生成工具调用 → 执行工具 → 回填结果 → 模型基于结果继续推理 → ...
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| $S$ | 状态集合 |
| $E$ | 事件集合 |
| $\delta$ | 状态转移函数 |
| $C_t$ | 第 $t$ 轮对话上下文 |
| $M_t$ | 第 $t$ 轮模型状态 |
| $A_t$ | 第 $t$ 轮生成的动作 |
| $O_t$ | 第 $t$ 轮执行的观测 |
| $\mathcal{F}_t$ | 第 $t$ 轮飞轮函数 |
| $\tau$ | 终止条件谓词 |
| $T_{\max}$ | 最大轮数限制 |
| $B_{\text{context}}$ | 上下文窗口上限 |
| $B_{\text{budget}}$ | Token 预算上限 |
| $d_{\text{interrupt}}$ | 中断传播延迟 |
| $\mathcal{A}_{\text{shell}}$ | Shell 命令动作空间 |
| $\mathcal{A}_{\text{tool}_i}$ | 第 $i$ 个细粒度工具动作空间 |
| $\text{SafetyPred}(\mathcal{A})$ | 动作空间 $\mathcal{A}$ 的安全谓词集合 |
| $\text{Cost}_{\text{patch}}$ | 补丁式编辑成本函数 |
| $\text{Cost}_{\text{rewrite}}$ | 全文件重写成本函数 |
| $\text{InfoLoss}(L, N)$ | 信息损失函数 |
| $T_{\text{serial}}$ | 串行执行总时延 |
| $T_{\text{parallel}}$ | 并行执行总时延 |
| $S$ | 加速比 |
| $E$ | 并行效率 |
| $\delta_{\text{coord}}$ | 并行协调开销 |
| $\epsilon$ | 错误传播函数 |
| $\mathcal{E}_{\text{benign}}$ | 良性错误空间 |
| $\text{Event}$ | 事件类型 |
| $\mathcal{E}_{\text{broadcast}}$ | 广播事件空间 |